먼저 환(ring)의 정의부터 시작해 보도록 하자.

참고.

1. 덧셈에 대한 항등원을 환의 영원(zero)이라 하고 $0$으로 나타낸다. 또한 (항등원의 정의에 의해), 임의의 $a \in R$에 대하여 $0 \cdot a = a \cdot 0 = 0$이 성립한다.
2. 예를 들어 짝수 정수의 집합 $2\Z$에 보통의 덧셈과 곱셈 연산을 정의하면, 이 집합은 환이지만 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않는다. 하지만 때때로 환이 곱셈에 대한 항등원을 갖는 경우가 있다. 이러한 경우, 곱셈에 대한 항등원을 단위원(unity)이라 하고 $1$로 나타낸다.
3. ($\abs{R} > 1$인 경우,) 만약 단위원 $1$이 존재한다면, 절대 $1=0$일 수 없다. 만약 그렇다면 임의의 원소 $a \in R$에 대하여 $a= 1 \cdot a = 0 \cdot a = 0$이 되어 $R=\{0\}$으로 모순이 생기기 때문이다.
4. 환이 단위원을 갖는다고 하더라도, 각각에 원소의 대해 곱셈의 역원을 찾지 못할 수도 있다. 특히, (만약 $\abs{R} > 1$이라면,) 영원 $0$는 절대로 곱셈의 역원을 갖지 못한다.
5. 연산 $\,\cdot\,$은 교환법칙이 성립할 필요는 없다. 만약 교환법칙이 성립한다면 이 환 $R$을 가환환(commutative ring)이라 부른다.

예제 1.2

1. 정수들의 집합 $\Z$ 위에 보통의 덧셈과 곱셈을 정의하면, 이 집합은 단위원이 존재하는 가환환이 된다. 이 경우, (곱셈에 대한) 역원이 존재하는 원소는 오직 $\pm 1$ 뿐이다.
2. 법(modulo) $n$에 대해 합동인 정수 $\Z_n$는 (법 $n$에 대한) 덧셈과 곱셈 연산에 대해, 단위원이 존재하는 가환군을 이룬다. 이 환은 유한환(finite ring) $\{0,\, 1,\, \ldots,\, n - 1\}$이며, $n$과 서로소(coprime)인 모든 원소 $a$는 역원을 갖는다.
3. 집합 $\Q$, $\R$, $\C$은 모두 적당한 덧셈과 곱셈에 대하여 단위원이 존재하는 가환환을 이룬다. 이 경우에는, $0$을 제외한 모든 원소가 역원을 갖는다.
4. 사원수(quaternion)들의 집합 $\mathbb{H} = \set{a + ib + jc + kd}{a,\, b,\, c,\, d \in \R}$는 단위원이 존재하는 비가환환이다. 이 때, $\mathbb{H}$위의 곱셈은 아래의 규칙을 만족한다:
   \[ i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1. \]사실 아래의 사실을 이용하면 $0$을 제외한 임의의 원소에 대한 역원을 찾을 수 있다:\[ (a + ib + jc + kd)(a - ib - jc - kd) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2. \]
5. $2 \times 2$ 실행렬(real matrix)들의 집합은 보통의 덧셈과 곱셈 연산에 대하여 환을 이룬다. 이 집합 또한 단위원 $I = \left( \begin{smallmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$가 존재하는 비가환환이다. 사실, 임의의 환의 원소를 성분으로 갖는 모든 $n \times n$ 행렬들의 집합은 환이 된다.
6. 유한집합에 대해서는 적당히 덧셈표와 곱셈표를 만듬으로써 환의 성질을 부여할 수 있다. 예를 들어, 집합 $R = \{0,\, a,\, b,\, c\}$에 대하여
   \[ \begin{array}{c|cccc} + & 0 & a & b & c \\ \hline 0 & 0 & a & b & c \\ a & a & 0 & c & b \\ b & b & c & 0 & a \\ c & c & b & a & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|cccc} + & 0 & a & b & c \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & a & a \\ b & 0 & 0 & b & b \\ c & 0 & 0 & c & c \end{array} \]을 정의하면, $R$은 환의 성질을 만족함을 보일 수 있다. 사실 위에 정의된 환 $R$은 아래의 $2 \times 2$ 행렬들에 법 $2$에 대한 덧셈과 곱셈을 적용한 결과를 표로 나타낸 것이다.\[ 0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad c = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
7. $R$을 단위원이 존재하는 가환환이라 하자. 이제 부정원(indeterminate) $x$와 $R$의 원소를 계수(coefficient)로 갖는 다항식(polynomial)은 아래의 형태를 갖는다:
   \[ a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n, \qquad \text{where} \quad a_i \in R. \]이제 이 다항식에 보통의 (함수에 대한) 덧셈과 곱셈 연산을 부여하자. 그러면 이는 환의 성질을 만족한다. 이 다항식환을 $R[x]$로 나타내기로 하자.
   1. 각각의 $0$이 아닌 다항식들은 유한차수(finite degree)를 갖는다: 이는 $a_n \neq 0$를 만족하는 가장 큰 $n$과 같다.
   2. 부정원 $x$는 $R$의 원소가 아니다. 따라서 $x^2,\, x^3,\, \ldots$ 또한 $R$의 원소가 아니다. 이들은 단지 덧셈과 곱셈을 위한 자릿값을 표현한다고 봐도 무방하다. 따라서 각각의 다항식을 오직 유한개의 항이 $0$이 아닌 수열(sequence) $(a_0,\, a_1,\, a_2,\, \ldots)$로 생각할 수 있다.
   3. 두 다항식에 대하여, 각각의 계수가 모두 같으면 이 두 다항식이 같다고 한다.